
\prob{0036}{10的倍数}

若$a, b, n$为整数且$n > 1$，证明：$a^{2^n+1}b - ab^{2^n+1}$是10的倍数。
\problabels{yellow/数论, green/证明题}

\subsection{奇偶分析法拓展}

\subsubsection{命题转化}

通过简单的因式分解可知
\begin{align*}
  a^{2^n+1}b - ab^{2^n+1} &= ab(a^{2^n} - b^{2^n}) \\
  &= ab(a - b)(a + b)(a^2 + b^2) \\
  &\cdots(a^{2^{n-1}} + b^{2^{n-1}})
\end{align*}
由于$n > 1$，所以其中前5项$a, b, a - b, a + b, a^2 + b^2$总是在待求公式中，因此只要证明$ab(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$是10的倍数即可证明命题。

\subsubsection{证明原式为2的倍数}

现在运用奇偶分析法的思想分类讨论$a, b$。

若$a, b$中有一个是偶数，则$ab$必为偶数，因此待求公式是2的倍数。

若$a, b$都是奇数，不妨设$a = 2x + 1, b = 2y + 1$，其中$x, y$是整数，则$a - b = 2x - 2y = 2(x - y)$是2的倍数，因此待求公式是2的倍数。

\subsubsection{证明原式为5的倍数}

现在再次运用奇偶分析法的思想，并将其拓展到任意倍数，而不是只有2的倍数。

为了证明待求公式是5的倍数，不妨设$a = 5u + p, b = 5v + q$，其中$m, n$是整数，且
\begin{align*}
  p &\in \{0, 1, 2, 3, 4\} \\
  q &\in \{0, 1, 2, 3, 4\}
\end{align*}
由此可知
\begin{align*}
  &\mathrel{\phantom{=}} ab(a - b)(a + b)(a^2 + b^2) \\
  &= (5u + p)(5v + q)\Big(5(u - v) + (p - q)\Big) \\
  &\cdot\Big(5(u + v) + (p + q)\Big)\Big((5u + p)^2 + (5v + q)^2\Big) \\
  &= (5u + p)(5v + q)\Big(5(u - v) + (p - q)\Big) \\
  &\cdot\Big(5(u + v) + (p + q)\Big)\Big(5(\dots) + (p^2 + q^2)\Big)
\end{align*}
可以看到，每项都是形如$5r + s$的形式。将上式乘开后，只有$pq(p - q)(p + q)(p^2 + q^2)$一项中没有5，其它项中均有5，因此
\begin{align*}
  &\phantom{=} ab(a - b)(a + b)(a^2 + b^2) \\
  &= pq(p - q)(p + q)(p^2 + q^2) + 5(\dots)
\end{align*}
因此只要证明$pq(p - q)(p + q)(p^2 + q^2)$是$5$的倍数即可证明$ab(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$是5的倍数。由于$p, q$的取值有有限个，因此可以使用穷举法，参见表~\ref{tab:0036-eo-5mul}。

\begin{table}[htbp]
  \centering
  \begin{tabular}{*{2}{>{$}c<{$}}>{$}l<{$}}
    \toprule
    p & q & 原式中 \\
    \midrule
    \multicolumn{2}{c}{有一个为0} & pq = 0 \\
    \multicolumn{2}{c}{相等} & p - q = 0 \\ \midrule
    1 & 4 & \multirow{2}*{$p + q = 5$} \\
    2 & 3 & \\ \midrule
    1 & 2 & p^2 + q^2 = 5  \\
    1 & 3 & p^2 + q^2 = 10 \\
    2 & 4 & p^2 + q^2 = 20 \\
    3 & 4 & p^2 + q^2 = 25 \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
  \caption{由于将$p, q$交换后，原式绝对值不变，符号改变，因此我们只考虑$p \le q$的情况。}
  \label{tab:0036-eo-5mul}
\end{table}

表~\ref{tab:0036-eo-5mul} 中涵盖了所有$p, q$的可能组合，因此$pq(p - q)(p + q)(p^2 + q^2)$是5的倍数，因此待求公式是5的倍数。

证毕。
